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求极限limx趋于0 sin2x除以5x

由极限的等价无穷小得:limx~0时,sin2x/5x=2x/5x=2/5.(极限的等价无穷小可参考高等数学同济大学第六版的58~59页)

解:方法一:应用等阶无穷小 因为当x->0时,sin2x与2x等阶,sin5x与5x等阶.故lim(sin2x/sin5x)=lim2x/5x=2/5 方法二:应用洛必达法则 当x->0时,满足0/0型.故可用洛必达法则 lim(sin2x/sin5x)=lim(sin2x)'/(sin5x)'=lim2cos2x/(5cos5x)=2cos0/(5cos0)=2/5

x趋于0时,sin2x可以代换成2x,那么limx趋于0(sin2x/x的平方+x)=limx趋于0(2x/x的平方+x)=limx趋于0(2/x+1)=2

lim(x->0)arcsin2x/(5x)=lim(x->0)2x/(5x)=2/5

当x趋向于0时,tan4x~4x,sin2x~2x从而 极限为2或者:tan4x/sin2x=sin4x/(cos4xsin2x)=2sin2xcos2x/(cos4xsin2x)=2cos2x/cos4x所以极限为2.

x趋于0时sinx和x是等价无穷小所以原式=lim(x趋于0)2x/5x=2/5

重要极限x趋于0时,sinx /x趋于1应该知道吧?那么同样的道理,(sin2x) /2x此时也趋于1于是(sin2x) /x趋于2实际上要记住,x趋于0时,sinx等价于x所以sin2x等价于2x当然就有(sin2x)/x等价于2x/x,所以极限值为2

lim(sin2x/tan5x)=lim(((sin2x/2x)*cos5x/(sin5x/5x))*(2x/5x))=1*1/1*2/5=2/5

(SIN2X)/(SIN5X)=[(SIN2X)/(2X)]/[(SIN5X)/(5X)]*(2/5) X趋于0则2X和5X都趋于0 所以(SIN2X)/(2X)和(SIN5X)/(5X)极限都是1 所以原极限=2/5

limx→0 tan2x/sin5x,(tanx~x,sinx~x,替换)=limx→0 2x/5x,=2/5.

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